01204483 Image Processing — Topic 09, Wavelet Transforms
แนวคิดเดียวกันหมด: สัญญาณ = ผลรวมของ "รูปคลื่นพื้นฐาน (basis)" แต่ละแบบ คูณด้วยสัมประสิทธิ์ของมัน — เปลี่ยนแค่ว่าเลือก basis อะไร (cosine, complex exponential, wavelet) ตัวไหนสัญญาณไม่มีองค์ประกอบนั้นจริง ๆ สัมประสิทธิ์ก็ เป็น 0 ไปเอง แล้วลองดูว่าทำไมวิธีนี้เอาชนะการทำ lowpass + downsample แบบ ตรงไปตรงมาได้
Fourier Series: สัญญาณ (คาบ) = ผลรวมของ cos(k·ω₀·t) หลายฮาร์มอนิก แต่ละตัวมีสัมประสิทธิ์ของตัวเอง — คือ series ของความถี่ที่เป็นจำนวนเท่าของความถี่มูลฐาน
Fourier Transform (DFT) ทำเรื่องเดียวกัน แต่ใช้ basis เป็น complex exponential eiωt = cos(ωt)+i·sin(ωt) — สำหรับสัญญาณจริง ผลลัพธ์เทียบเท่ากับ cos/sin series พอดี
DCT ก็ series ของสัมประสิทธิ์บน cosine basis (คนละเงื่อนไขขอบเขตกับ Fourier) และ Wavelet Transform ก็ series ของสัมประสิทธิ์บน basis รูปคลื่นแบบอื่น — โครงสร้างเดียวกันทั้งหมด
เลือก basis ได้หลายแบบ: cosine (Fourier/DCT), complex exponential (DFT), หรือ Mexican Hat / Haar ใน wavelet — ดู gallery รูปคลื่นตัวอย่างที่ข้อ 2 ด้านล่าง
ตัดสัมประสิทธิ์ตัวเล็ก ๆ ทิ้ง (ให้เป็น 0) แล้ว reconstruct กลับ — เก็บแค่ตัวใหญ่ ๆ ไม่กี่ตัวก็ยังใกล้เคียงต้นฉบับมาก เพราะพลังงานสัญญาณส่วนใหญ่กระจุกอยู่ที่สัมประสิทธิ์ไม่กี่ตัว (ตามทฤษฎีบท Parseval)
ทำไมไม่ใช้แค่ lowpass + downsample เฉย ๆ? เทียบดูที่ข้อ 4 — งบตัวเลขเท่ากัน แต่การเลือก basis ที่เหมาะกับสัญญาณให้ผลลัพธ์แม่นกว่า โดยเฉพาะสัญญาณที่มีจุดกระโดดเฉพาะจุด (wavelet ชนะ) หรือสัญญาณที่มีไม่กี่ความถี่เด่น (Fourier/DCT ชนะ)
แสดงแบบ
เลือก Basis (ใช้ร่วมกันทั้ง 1D และ 2D)
1 · เลือกสัญญาณทดสอบ
สัญญาณยาว N=64 ตัวอย่าง
2 · รูปคลื่นของ Basis (1D)
—
3 · สัมประสิทธิ์ (Coefficients) และเก็บแค่ Top-K
มันคือ sequence ของสัมประสิทธิ์ เหมือนกันทุก transform — สิ่งที่ต่างกันมีแค่ 2 อย่าง: (1) basis function ที่ใช้ฉายสัญญาณลงไป (ข้อ 2) และ (2) ความถี่มูลฐาน/สเกลของแต่ละตำแหน่งใน sequence นั้น
—
—
4 · เทียบกับ Lowpass Filter + Downsample แบบง่าย ๆ
1 · เลือกภาพทดสอบ
ภาพขาวดำ 64×64 พิกเซล — ใช้ N เดียวกับสัญญาณ 1D
2 · รูปคลื่นของ Basis (2D)
—
3 · สัมประสิทธิ์ 2D (Coefficients) และเก็บแค่ Top-K
โครงสร้างเดียวกับ 1D ทุกอย่าง แค่สัมประสิทธิ์ตอนนี้เรียงเป็นตาราง (u,v) 2 มิติแทนเส้นเดียว — สว่าง = ขนาดสัมประสิทธิ์ใหญ่ (ใช้ sqrt เพื่อให้เห็นค่าเล็ก ๆ ด้วย ไม่ใช่ scale เชิงเส้นตรง ๆ)
—
4 · เทียบกับ Lowpass Filter + Downsample แบบง่าย ๆ (2D)