01204483 Image Processing — Topic 08, Fourier Transforms

Nyquist & Aliasing — ทำไมสุ่มตัวอย่างไม่พอ ถึง "จำผิดความถี่"

สุ่มตัวอย่าง (sample) สัญญาณที่ความถี่สูงเกินครึ่งหนึ่งของอัตราสุ่ม แล้วจุดตัวอย่างที่ได้จะ เหมือนกันเป๊ะกับสัญญาณความถี่ต่ำกว่าอีกตัวหนึ่งเสมอ — ไม่มีทางแยกออกจากกันได้อีกจากตัวอย่างเพียงอย่างเดียว นี่คือ aliasing — ทางแก้คือกรองความถี่สูงทิ้งก่อนสุ่ม ไม่ใช่แก้ทีหลัง

เลือกโดเมน

1D (สัญญาณ/เสียง) 2D (ภาพ)

อัตราสุ่มตัวอย่าง f_s กำหนด ความถี่ Nyquist = f_s/2 — ความถี่สูงสุดที่ยังสุ่มแล้วไม่กำกวม

ถ้าความถี่สัญญาณจริง f ≤ Nyquist → ปลอดภัย จุดตัวอย่างที่ได้แทนสัญญาณนี้ได้แบบไม่กำกวม

ถ้า f > Nyquist → aliased — จุดตัวอย่างที่ได้จะเหมือนกันเป๊ะกับสัญญาณความถี่ต่ำกว่าอีกตัว (apparent frequency) คำนวณจาก f_alias = |f − round(f/f_s)·f_s|

เรียกว่า "frequency folding" — ความถี่เหมือนสะท้อนกลับรอบเส้น Nyquist ซ้ำไปเรื่อย ๆ ทุกครึ่งของ f_s

เมื่อ alias แล้วกู้คืนไม่ได้ — จุดตัวอย่างไม่พกข้อมูลว่า "แท้จริงมาจากความถี่ไหน" เหลืออยู่เลย นี่คือเหตุผลที่ต้องกรองความถี่สูงทิ้งก่อนสุ่ม ไม่ใช่แก้ทีหลัง

ลองลาก f ผ่านเส้น Nyquist ที่ข้อ 2 ดูเส้นโค้งเสมือน (aliased) โผล่มาทับเส้นเดิมพอดีที่จุดตัวอย่างทุกจุด

1 · ตั้งค่าความถี่สัญญาณ (f) และอัตราสุ่ม (f_s)

ความถี่สัญญาณจริง f (Hz)

300 Hz

อัตราสุ่ม f_s (Hz)

1000 Hz

—

2 · สัญญาณจริง vs จุดตัวอย่าง vs สัญญาณเสมือน (ถ้า alias)

เส้นทึบ = สัญญาณจริงต่อเนื่อง, จุด = ตัวอย่างที่สุ่มได้จริง, เส้นประ = สัญญาณความถี่ต่ำกว่าที่ให้จุดตัวอย่างชุดเดียวกันเป๊ะ (โผล่เฉพาะตอน alias)

สัญญาณจริง (ต่อเนื่อง) สัญญาณเสมือน (aliased)

Frequency folding — f สะท้อนรอบเส้น Nyquist อย่างไร

—

ภาพก็มี "ความถี่" เหมือนสัญญาณเสียง — ลวดลายที่ซ้ำถี่ ๆ (ลาย, หมากรุก, เส้นขนาน) คือความถี่เชิงพื้นที่สูง

การลดขนาดภาพ (downsample) คือการลด sample grid — grid ใหม่ก็มี Nyquist limit ของตัวเอง เท่ากับครึ่งหนึ่งของความหนาแน่น sample ใหม่

ถ้า downsample แบบสุ่มจุดตรง ๆ โดยไม่กรองก่อน ลวดลายที่ถี่เกิน Nyquist ใหม่จะพับกลับมาเป็นลายผิด ๆ (moiré) ที่ไม่มีอยู่ในภาพจริง

Anti-aliasing = เบลอ (low-pass) ก่อน downsample เสมอ — ตัดความถี่ที่ grid ใหม่แสดงไม่ได้ทิ้งไปตั้งแต่ต้น แทนที่จะปล่อยให้มันพับกลับมาเป็นลายหลอน

ภาพทดสอบด้านล่างมี 4 โซนความถี่ต่างกัน (ลายตั้ง/นอน/เฉียงไล่ระดับ + หมากรุกถี่คงที่) — เห็นความแตกต่างชัดเจนระหว่างโซนที่ยัง "ปลอดภัย" กับโซนที่เริ่ม alias

ลองเพิ่ม downsample factor แล้วดู moiré โผล่ในภาพกลาง จากนั้นเพิ่ม blur sigma ดูภาพขวาเรียบลงจนลายหลอนหายไป

1 · ตั้งค่า Downsample Factor และ Blur (Anti-alias)

Downsample factor (k)

4×

Blur sigma (ก่อน downsample)

1.5

Nyquist limit ของ grid หลัง downsample ×k คือ 1/(2k) รอบ/พิกเซล — สูงกว่านี้จะ alias ถ้าไม่กรองก่อน

2 · ต้นฉบับ vs Downsample ตรง ๆ (Alias) vs เบลอก่อน Downsample (Anti-alias)

ต้นฉบับ (200×200)

Downsample ตรง ๆ — ไม่กรอง (alias)

เบลอก่อนแล้วค่อย Downsample (anti-alias)

ทั้งสามภาพแสดงที่ขนาดเท่ากัน (ขยายกลับด้วย nearest-neighbor) เพื่อเทียบลวดลายที่เกิดขึ้นได้ตรง ๆ

Nyquist frequency = f_s / 2 (ความถี่สูงสุดที่สุ่มแล้วไม่กำกวม)

Aliasing (สูตรห้องเรียน): f_alias = | f − round(f / f_s) · f_s | โดย 0 ≤ f_alias ≤ f_s/2 ตัวอย่าง: f=5200 Hz, f_s=8000 Hz → round(5200/8000)=1 → f_alias = |5200−8000| = 2800 Hz

2D (per-axis): Nyquist limit หลัง downsample ทุก k พิกเซล = 1/(2k) รอบ/พิกเซล

Anti-aliasing: กรอง low-pass (เบลอ) ก่อน downsample เพื่อตัดความถี่ > Nyquist ใหม่ทิ้ง — ทำทีหลังไม่ได้ เพราะข้อมูลถูกพับปนกับความถี่จริงไปแล้ว